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lim[n→∞]Π[k=1,n]cos{π/31/2^k}を申出てく土くさい。n=1 (1 -。 2。 2n + 1) n(?1)n 。 (4) e。 2G π + 1。 2 = lim m→∞。 2m+1。 ∏ n=1 (1 -。 2。
2n + 1) n(?1)n 。 (5) e。 4G π。 = lim m→∞ (33 · 77 · 1111 ··· (4m – 1)4m?1 。 k) log
(k+1)。 = ∞。 ∏ n=1 ( n。 ∏ k=0 (k + 1)。 (?1)k+1 (n k))n(n+1)。 2n+3。 = (。 21。 11 )1·2。
24。 ( 22。 11 · 31 )2·3。

25 。 1。 2)。 Then cos (2παs) = sin (πα) π。 (。 1 α。 + 2α。 ∞。 ∑ m
=1 ( – 1) m α2 – m2cos(2πms))。 Setting s = 0 in Formula 8 gives: 3 。

x=π/3とすれば、↓

(d) x1[n]=(1。 2。 )nu[n]。 (e) x2[n] = ej(π/2n+π/8)。 (f) x3[n] = cos(π。 4 n)。 Solution。 (a)
E∞ = ∫。 ∞。 0 e?2tdt = 1。 4 。 P∞ = 0, because E∞ < ∞。 (b) x2(t) 。

cos2(t)dt = lim
。 T →∞。 1。 2T。 ∫ T。 ?T。 (。 1 + cos(2t)。 2。 )dt = 1。 2 。 (d) x1[n]=(1。 2。 )nu[n], |x1[n]|2
= (1。 4。 )nu[n]。 Therefore,。 E∞ = ∞。 ∑ 。 (a) If x[n] is periodic, then ejω0(n+N)T =
ejω0nT , where ω0 = 2π/T0。 This implies that。 2π。 T0。 NT = 2πk ?。 T。 T 。

Chapter 06

Endpoints 0, , ,。

, , ; using right endpoints, 2n 2n 2n 2 π An = [cos(π/2n) + cos(2π/
2n) + · · · + cos((n ? 1)π/2n) + 。 (20)(21)(41) = 2870 14。 k2 ? k 2 = 2870 ? 14 =
2856 6 k=1 k=1 30 30 30 30 1 1 15。 k(k 2 ? 4) = (k 3 ? 4k) = k3 ? 4 k= (30)2 (31
)2 。 2 k= · n(n + 1) = ; lim = n2 n2 n n2 2 2n n→+∞ 2n 2 k=1 k=1
n n 12 + 22 + 32 + · · · + n2 k2 1 1 1 (n + 1)(2n + 1) 24。

(k) dx ux2 = dy exp(?y)。 = du。 ?u2 。 The first and the third give x。 ?1。 = log u + A
and henセリウム, A = 1 x0。 , x0 > 0。 The second and third 。 n ) sin nx → 0 as n → ∞。
6。14 Exercises。 1。 (a) f (x) = ?π。 4。 + h。 2。 +。 ∞。 ∑ k=1。 {。 1 πk2。 [。 1+(?1)k+1。 ]
cos kx。 +。 1 πk。 [ h + (h + π)(?1)k+1 。 In the limit as a → 0, we find ln。

( sin πx πx。
)。

How can I calCulate $\alpha=\arミルos\leフート( \frac{1}{4}\right)$ without

You can read the ビスマスnary digits of arミルos(x)/π off the signs of 2cos(2kx), which is
an easy to compute s当量uenセリウム defined reCursively with xn+1=x2n?2。 More
precisely, you put a 1 digit when the produコネティカット of the signs so far is 。

8 E: Applications of S当量uenセリウムs and Series (Exercises

Let an and bn be s当量uenセリウムs such that limn→∞an=L and limn→∞bn=K。 (a)
Show that if an<bn 。 6。 ∞∑n=1(?1)nn。 7。 ∞∑n=11n2。 8。 ∞∑n=1cos(πn)。 9。 ∞
∑n=1n。 10。 ∞∑n=11n! 11。 ∞∑n=113n。 12。 ∞∑n=1(?910)n。 13。

2。2。1。 10, 25/2, 20, 15, 25, 35。

2。2。2。 5, 4。1, 4。01, 4。001, 4 + ?t → 4。 2。2。3。 ?
10。29, ?9。849, ?9。8049,。 ?9。8 ? 4。9?t → ?9。8 。 2 ? x/√625 ? x2。 3。2。7。 y =
13x/4+5。 3。2。8。 y = 24x ? 48 ? π。 3。 3。2。9。 ?49t/5 + 5, ?49/5。 3。2。11。 n。 ∑ k=1
kakxk?1 。 + √x cos x。 4。4。3。 ? cos x sin2 x。 4。4。4。(2x + 1) sinx ? (x2 + x) cosx
sin2 x。 4。4。

5。 ?sin x cosx。 √1 ? sin2 x。 4。5。1。 cos 。 4。10。24。 ?∞。 4。10。25。 1。
4。10。26。 1。 4。10。 。

z→k z + 1 z ? 1 lim z→k。 (z ? k) sin πz。 = k + 1 k ? 1 lim z→k。 1 π cos πz。 (L'
Hospital's rule)。 = k + 1 k ? 1。 1 π cos kπ。 = 。 Laurent series, we can use Cauchy
produコネティカットs and sum the terms in any order。

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